Question

函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a≠0，
（Ⅰ）當(dāng)a=2求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在x=-1處取得極值，關(guān)于x的方程f（x）=m有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出函數(shù)y=f（x）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）由f（x）在x=-1處取得極值，結(jié)合圖象求出方程f（x）=m有三個(gè)不等的實(shí)根時(shí)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=2，f（x）=x³-6x-1，
∴f′（x）=3（x²-2），f（1）=-6，
∴f′（1）=-3，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+6=-3（x-1），
即3x+y+3=0；
（Ⅱ）∵f（x）的導(dǎo)數(shù)是f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
且f（x）在x=-1處取得極值，
∴3[（-1）²-a]=0，∴a=1；
∴f′（x）=3（x+1）（x-1）；
由（1）知，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值1；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值-3；如圖，
方程f（x）=m有三個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，-3＜m＜1；
∴m的取值范圍是{m|-3＜m＜1}．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程的能力，屬于中檔題．