Question

18．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直線BF與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{9}$，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別推導(dǎo)出AG⊥EF，AG⊥AD，由此能證明AG⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AG分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由BF與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{9}$，利用向量法能求出AG．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)锳E=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，
所以AG⊥EF．
又因?yàn)镋F∥AD，所以AG⊥AD．…（3分）
因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG?平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)锳G⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB兩兩垂直．
以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AG分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
設(shè)AG=t（t＞0），則E（0，1，t），F(xiàn)（0，-1，t），
所以$\overrightarrow{BF}$=（-4，-1，t），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，t）．…（8分）
設(shè)平面ACE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{4x+4y=0}\\{y+tz=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（t，-t，1）．
因?yàn)锽F與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
所以|cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，…（10分）
即$\frac{|2t|}{\sqrt{17+{t}^{2}}•\sqrt{2{t}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，解得t²=1或${t}^{2}=\frac{17}{2}$．
所以AG=1或AG=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查滿足條件的線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．