定義在R上的增函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)求f(0)
(Ⅱ)求證f(x)為奇函數(shù);
(Ⅲ)若f()+f(3-9-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解:(Ⅰ)令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.…2分
(Ⅱ)令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有
0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函數(shù). ………………………………6分
(Ⅲ) 因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù),又由(Ⅱ)知f(x)是奇函數(shù).
f()<-f(3-9-2)=f(-3+9+2), <-3+9+2,
3-(1+k)+2>0對(duì)任意x∈R成立. …… …………………8分
令t=3>0,問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2>0對(duì)任意t>0恒成立.
,其對(duì)稱軸為
………………10分
解得:
綜上所述,當(dāng)時(shí),f()+f(3-9-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立.
解析
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知偶函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),
(1) 求當(dāng)時(shí),的表達(dá)式;
(2) 試討論:當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí),函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),
且這4個(gè)零點(diǎn)從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿分12分)探究函數(shù)的最小值,并確定取得最小值時(shí)x的值. 列表如下, 請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn),完成以下的問(wèn)題.
x | … | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1 | 1.1 | 1.2 | 1.5 | 2 | 3 | 5 | … |
y | … | 8.063 | 4.25 | 3.229 | 3 | 3.028 | 3.081 | 3.583 | 5 | 9.667 | 25.4 | … |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿分10分)已知函數(shù)
⑴ 判斷函數(shù)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性定義證明;
⑵ 求函數(shù)的最大值和最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)是奇函數(shù),并且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn),
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)求函數(shù)的值域;
(3)證明函數(shù)在(0,+上單調(diào)遞減,并寫出的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f()=.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>對(duì)定義域內(nèi)的任意、,都有,且當(dāng)時(shí),。
(1)求證:是偶函數(shù);
(2)求證:在上是增函數(shù);
(3)解不等式。
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