Question

20．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=AD=1，BC=2．
（I）求異面直線BC與SD所成角的大��；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）求直線SC與平面SAB所成角大小的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導出異面直線AD與SC所成的角就是BC與SC所成的角（或其補角），由此能求出異面直線AD與SC所成角的大�。�
（Ⅱ）由SA⊥平面ABCD，可證SA⊥BC，又BC⊥AB，即可證明BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知BC⊥平面SAB，可得直線SC與平面SAB所成角是∠SCB，由勾股定理求得SB的值，即可得解tan∠SCB=$\frac{SB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴異面直線BC與SD所成的角就是AD與SD所成的角（或其補角）．
連結(jié)AC，BD…（3分）
由已知有SA=AD，∠SAD=90°，
∴△SAD是等腰直角三角形，∴∠SDA=45°，
∴異面直線BC與SD所成角為45°．
（Ⅱ）證明：∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SA⊥BC，
又∵∠ABC=90°，即BC⊥AB，AB∩SA=A，
∴BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）∵由（Ⅱ）可知BC⊥平面SAB；
∴直線SC與平面SAB所成角是∠SCB，
∵SA=AB=1，SA⊥AB，可得：SB=$\sqrt{S{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，可得：tan∠SCB=$\frac{SB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面所成角的正切值的求法，直線與平面垂直的判定，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．