Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=aⁿ-1（a＞0，且a≠1），且6a₁，a₃，a₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=aⁿ-1（a＞0，且a≠1），可得當n=1時，a₁=a-1，a₂=S₂-S₁．可得等比數(shù)列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．由于6a₁，a₃，a₂成等差數(shù)列，可得6a₁+a₂=2a₃，代入即可得出．
（2）b_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$2（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=aⁿ-1（a＞0，且a≠1），∴當n=1時，a₁=a-1，a₂=S₂-S₁=（a²-1）-（a-1）=a（a-1）．
∴等比數(shù)列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a．∵6a₁，a₃，a₂成等差數(shù)列，∴6a₁+a₂=2a₃，6a₁+a₁a=$2{a}_{1}{a}^{2}$，化為2a²-a-6=0，a＞0，解得a=2．∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$2（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$．
∴T_n=$2[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）]$=2$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、遞推關系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．