Question

12．已知橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過左焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，再由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為-2求得a的值，則b可求，橢圓方程可求；
（2）由（1）知F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），則斜率不存在時(shí)，用坐標(biāo)分別表示出$\overrightarrow{{F}_{2}M}$，$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，直接求得$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$；直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k（x+$\sqrt{2}$），代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，消去y得（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4（k²-1）=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系求得M，N的橫縱坐標(biāo)的積，把$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$轉(zhuǎn)化為M，N的橫坐標(biāo)的和與積的形式，代入后化為關(guān)于k的函數(shù)式得答案．

解答 解：（1）由題意知，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，則a²=2b²，
設(shè)P（x，y），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-a-x，-y）•（a-x，-y）
=${x}^{2}-{a}^{2}+{y}^{2}={x}^{2}-{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}（{x}^{2}-{a}^{2}）$，
∵-a≤x≤a，∴當(dāng)x=0時(shí)，$（\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}）_{min}=-\frac{{a}^{2}}{2}=-2$，
∴a²=4，則b²=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由a²=4，b²=2，得$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{2}$，
∴${F}_{1}（-\sqrt{2}，0），{F}_{2}（\sqrt{2}，0）$，
則直線斜率不存在時(shí)，
M（-$\sqrt{2}$，1），N（-$\sqrt{2}$，-1），于是$\overrightarrow{{F}_{2}M}=（-2\sqrt{2}，1）$，$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（-2$\sqrt{2}$，-1），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=7；
直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k（x+$\sqrt{2}$），代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，消去y得
（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4（k²-1）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}=（{x}_{1}-\sqrt{2}，{y}_{1}），\overrightarrow{{F}_{2}N}=（{x}_{2}-\sqrt{2}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=${x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2+{k}^{2}（{x}_{1}+\sqrt{2}）（{x}_{2}+\sqrt{2}）$
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）$+2k²+2
=$（1+{k}^{2}）•\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}+\sqrt{2}（{k}^{2}-1）•\frac{-4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+2k²+2
=$7-\frac{9}{1+2{k}^{2}}$．
∵1+2k²≥1，∴0＜$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$≤1
∴$7-\frac{9}{1+2{k}^{2}}$∈[-2，7），
綜上知，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$∈[-2，7]．

點(diǎn)評(píng) 本題以向量為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算能力，解題時(shí)應(yīng)注意分類討論，同時(shí)正確用坐標(biāo)表示向量，是中檔題．