Question

如圖，P是⊙O：x²+y²=4上任意一點，PQ⊥x軸，Q為垂足．設(shè)PQ的中點為M．
（1）求點M的軌跡Γ的方程；
（2）設(shè)動直線l與⊙O相交所得的弦長為定值2

3

，l與（1）中曲線Γ交于兩點A，B，線段AB的中垂線交⊙O于E，F(xiàn)，求|EF|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用中點坐標(biāo)公式，確定P，M坐標(biāo)之間的關(guān)系，將P的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求得M的軌跡方程；
（2）設(shè)l：y=kx+m（k≠0），利用動直線l與⊙O相交所得的弦長為定值2

3

，圓的半徑為2，可得

|m|

1+k2

=1；直線代入橢圓方程，求出AB的中垂線方程，利用O到直線EF的距離為d=

| 3km 1+4k2 |

1+k2

，d最大時，|EF|最小，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則P（x，2y）
∵P在圓x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，
∴點M的軌跡Γ的方程是x²+4y²=4；
（2）設(shè)l：y=kx+m（k≠0），則
∵動直線l與⊙O相交所得的弦長為定值2

3

，圓的半徑為2，
∴O到直線l的距離為1，即

|m|

1+k2

=1，
直線代入橢圓方程，可得（1+4k²）x²+8kmx+（4m²-4）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，
∴AB的中點為（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），AB的中垂線方程為y-

m

1+4k2

=-

1

k

（x+

4km

1+4k2

），
化簡可得x+ky+

3km

1+4k2

=0，
O到直線EF的距離為d=

| 3km 1+4k2 |

1+k2

，d最大時，|EF|最�。�
將

|m|

1+k2

=1代入d=

| 3km 1+4k2 |

1+k2

，可得d=

|3k|

1+4k2

，
∵1+4k²≥4|k|，∴d≤

3

4

（當(dāng)且僅當(dāng)|k|=

1

2

時取等號），
∴|EF|≥2

22-( 3 4 )2

=

55

2

，即|EF|的最小值為

55

2

．

點評：本題考查軌跡方程，考查代入法的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．