Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R），函數(shù)g（x）=-

a

x

，若至少存在一個(gè)x₀∈[1，e]，使得f（x_o）＞g（x_o）成立，a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：

分析：由題意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，令h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：由題意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，
令h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴

a

2

＞h(1)=0，
∴a＞0．
∴a的取值范圍是（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．