Question

12．函數(shù)f（x）=ax³+bx+c的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且過(guò)點(diǎn)（1，1），（2，26）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)P為函數(shù)f（x）（x∈（0，+∞））圖象上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=9x-10的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（-x）=-f（x），從而可得c=0，再由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{8a+2b=26}\end{array}\right.$解得；
（2）求導(dǎo)f′（x）=12x²-3=3（2x+1）（2x-1），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由12x²-3=9解得x=±1，從而可得f（x）=4x³-3x的斜率為9的切線的切點(diǎn)為（1，1）；從而可得點(diǎn)P到直線y=9x-10的最短距離為點(diǎn)（1，1）到直線y=9x-10的距離，從而解得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（-x）=-f（x），
∴-ax³-bx+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0，
∵點(diǎn)（1，1），（2，26）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{8a+2b=26}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴f（x）=4x³-3x；
（2）∵f（x）=4x³-3x，
∴f′（x）=12x²-3=3（2x+1）（2x-1），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（3）由12x²-3=9解得，x=±1，
∴f（x）=4x³-3x的斜率為9的切線的切點(diǎn)為（1，1）；
∴切線方程為y=9x-8，
∴點(diǎn)P到直線y=9x-10的最短距離為點(diǎn)（1，1）到直線y=9x-10的距離，
∴d=$\frac{|9×1-1-10|}{\sqrt{81+1}}$=$\frac{\sqrt{82}}{41}$，
故點(diǎn)P到直線y=9x-10的最短距離為$\frac{\sqrt{82}}{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．