Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2

2

，CC₁=4，M是棱CC₁上一點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分別為CC₁，AB的中點，求證：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥BC．由已知　AC=BC=2，AB=2

2

，利用勾股定理的逆定理知BC⊥AC．利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明結論；
（II）   過N作NP∥BB₁交AB₁于P，連接MP，則NP∥CC₁，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理與性質定理即可得到CN∥MP，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答： 證明：（Ⅰ）因為　三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
所以　CC₁⊥BC．               
因為　AC=BC=2，AB=2

2

，
所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．     
又因為AC∩CC₁=C，
所以　BC⊥平面ACC₁A₁．                      
因為　AM?平面ACC₁A₁，
所以　BC⊥AM．                             
（Ⅱ）過N作NP∥BB₁交AB₁于P，連接MP，則NP∥CC₁． 
因為　M，N分別為CC₁，AB中點，
所以　CM=

1

2

CC1，NP=

1

2

BB1．  
因為　BB₁=CC₁，
所以　NP=CM．       
所以　四邊形MCNP是平行四邊形．
所以　CN∥MP．                              
因為　CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，
所以　CN∥平面AB₁ M．

點評：本題綜合考查了直三棱柱的性質、線面平行于垂直的判定和性質定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質定理等基礎知識與方法，需要較強的推理能力和空間想象能力．