Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)公差為d，首項(xiàng)a₁，利用等差中項(xiàng)的概念列關(guān)系，通過(guò)兩次平方運(yùn)算及可求得答案．

解答： 設(shè)公差為d，首項(xiàng)a₁
∵{a_n}，{

Sn

}都是等差數(shù)列，且公差相等，
∴2

S2

=

S1

+

S3

，
即2

2a1+d

=

a1

+

3a1+3d

，
兩端平方得：4（2a₁+d）=a₁+3a₁+3d+2

a1(3a1+3d)

，
4a₁+d=2

a1(3a1+3d)

，
兩端再平方得：16a12+8a₁d+d²=4a₁（3a₁+3d），
∴4a12-4a₁d+d²=0，
d=2a₁，又兩數(shù)列公差相等，
∴

S2

-

S1

=a₂-a₁=d=2a₁，
即

2a1+2a1

-

a1

=2a₁，
解得：
2

a1

=1，
∴a₁=

1

4

或a₁=0（{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，故舍）
∴a₁=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查化歸與方程思想，屬于難題．