Question

7．設(shè)命題$p：a∈\{y|y=\sqrt{-{x^2}+2x+8}，x∈R\}$，命題q：關(guān)于x的方程x²+x-a=0有實(shí)根．
（1）若p為真命題，求a的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，且“p∨q”為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若p為真命題，根據(jù)根式成立的條件進(jìn)行求解即可求a的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，且“p∨q”為真命題，得到p與q一真一假，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，$y=\sqrt{-{x^2}+2x+8}=\sqrt{-{{（x-1）}^2}+9}∈[0，3]$
故p為真命題時(shí)a的取值范圍為[0，3]．
（2）故q為真命題時(shí)a的取值范圍為$a≥-\frac{1}{4}$
由題意得，p與q一真一假，從而
當(dāng)p真q假時(shí)有  $\left\{\begin{array}{l}0≤a≤3\\ a＜-\frac{1}{4}\end{array}\right.$a無(wú)解；
當(dāng)p假q真時(shí)有$\left\{\begin{array}{l}a＜0或a＞3\\ a≥-\frac{1}{4}\end{array}\right.$∴$a＞3或-\frac{1}{4}≤a＜0$．      
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{1}{4}，0）∪（3，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的真假判斷以及真假關(guān)系的應(yīng)用，求出命題成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．