Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax+b的圖象為曲線C
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）不是R上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的范圍．
（Ⅱ）若過曲線C外的點A（1，0）作曲線C的切線恰有兩條，
（1）求a，b的關(guān)系式．
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀•e x0+a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-a，由題意f′（x）=3x²-a=0有兩解，由此能求出實數(shù)a的范圍．
（Ⅱ）（1）設(shè)切點為（x₀，y₀），則切線方程為：y-y₀=（3x₀-a）（x-x₀），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件推導(dǎo)出a=b．
（2）?x₀＞0，x03-ax0+b＞x0•ex0+a，由已知得a＜（x²-e^x）_max，又（x²-e^x）_max不存在，但其上確界是f（0）=-1，由此能求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax+b，
∴f′（x）=3x²-a，
由題意f′（x）=3x²-a=0有兩解，
∴a＞0．
（Ⅱ）（1）設(shè)切點為（x₀，y₀），則切線方程為：y-y₀=（3x₀-a）（x-x₀），
切線過（1，0），故-y₀=（3x₀-a）（1-x₀），①，
又y0=x03-ax₀+b，②，
由①②消去y₀，得2x03-3x02=b-a，
令g（x）=2x³-3x²，由g′（x）=6x²-6x，知極值點在0，1，極值為0，-1
故b=a，或b-a=-1，
但A點不在C上，故f（1）≠0，∴1-a+b≠0，
綜上：a=b．
（2）?x₀＞0，x03-ax0+b＞x0•ex0+a，
a＜x02-ex0，a＜（x²-e^x）_max，
（x²-e^x）′=2x-e^x＜0，∴x²-e^x是遞減的，∴（x²-e^x）_max不存在，
但其上確界是f（0）=-1，
故所求的a的范圍為：a＜-1．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．是中檔題．