Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求二面角A-BC-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG．由已知條件推導(dǎo)出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．
（2）由已知條件推導(dǎo)出AF⊥CD，DE⊥AF，從而AF⊥平面CDE．由BG∥AF，得BG⊥平面CDE，由此能證明平面BCE⊥平面CDE．
（3）過A作直線l⊥面ABF，以A為原點(diǎn)，分別以直線AF、l、AB分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BC-F的余弦值．

解答： （1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．…（2分）
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．又DE=2AB，
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．…（4分）
（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，
∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．…（6分）
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．…（7分）
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（3）解：過A作直線l⊥面ABF，以A為原點(diǎn)，
分別以直線AF、l、AB分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=2，
則A（0，0，0），B（0，0，1），C（

3

，-1，0），F(xiàn)（

3

，0，0），
∴

AB

=（0，0，1），

AC

=（

3

，-1，0），

BF

=(

3

，0，-1)，

CF

=(0，1，0)，…（9分）
設(shè)平面ABC的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，平面FBC的法向量為

m

=(x2，y2，z2)，
由

n ⊥ AB n ⊥ AC

，得

z1=0 3 x1-y1=0

，令x₁=1得：

n

=(1，

3

，0)
同理可得：

m

=（1，0，

3

），…（11分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2×2

=

1

4

．…（12分）
故所求的二面角A-BC-F的余弦值為：

1

4

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值勤的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．