Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（x-1，2），$\overrightarrow$=（4，y）（x，y為正），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則xy的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據已知條件即可得到4（x-1）+2y=0，從而2x+y=2，而x，y為正，從而根據基本不等式即可得到$2x+y≥2\sqrt{2}•\sqrt{xy}$，從而$xy≤\frac{1}{2}$，這便得到xy的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴4（x-1）+2y=0；
∴2x+y=2；
∵x，y為正；
∴$2=2x+y≥2\sqrt{2}•\sqrt{xy}$；
∴$xy≤\frac{1}{2}$；
∴xy的最大值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 考查兩非零向量垂直的充要條件，數量積的坐標運算，以及基本不等式：$a+b≥2\sqrt{ab}，a，b＞0$，用于求最值．