Question

9．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)F₁上，片門位于另一個焦點(diǎn)F₂上，由橢圓一個焦點(diǎn)F₁發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點(diǎn)F₂．已知BC⊥F₁F₂，|F₁B|=3m，|F₁F₂|=4cm，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口BAC所在橢圓的方程．

Answer 1

分析 以F₁F₂的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F₁F₂為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)截口BAC所在橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，根據(jù)已知及橢圓的性質(zhì)，求出a，b，可得答案．

解答 解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)截口BAC所在橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，

因?yàn)锽C⊥F₁F₂，|F₁B|=3m，|F₁F₂|=4cm，
所以在直角△BF₁F₂中，
|BF₂|=4=$\sqrt{{{BF}_{1}}^{2}+{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}$=5cm，
故2a=|F₁B|+|BF₂|=8cm，a=4cm，
2c=|F₁F₂|=4cm，c=2cm，
又由b²=a²-c²=12，
故截口BAC所在橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的應(yīng)用，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解答的關(guān)鍵．