【題目】如圖所示,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四邊形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=AE=2,O,M分別為CE,AB的中點(diǎn).
(1)求證:OD∥平面ABC;
(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值;
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)通過證明線線平行得到線面平行;(2)C為原點(diǎn),分別以CA,CB所在直線為x,y軸,以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ODM的一個(gè)法向量,利用直線與平面所成的角的公式,求出直線CD和平面ODM所成角的正弦值。
試題解析:(1)證明 如圖,取AC中點(diǎn)F,連接OF,FB.
∵F是AC中點(diǎn),O為CE中點(diǎn),
∴OF∥EA且OF=EA.
又BD∥AE且BD=AE,
∴OF∥DB且OF=DB,
∴四邊形BDOF是平行四邊形,∴OD∥FB.
又∵FB平面ABC,OD平面ABC,
∴OD∥平面ABC.
(2)解 ∵平面ABDE⊥平面ABC,平面ABDE∩平面ABC=AB,DB平面ABDE,且BD⊥BA,
∴DB⊥平面ABC.
∵BD∥AE,∴EA⊥平面ABC.
又△ABC是等腰直角三角形,且AC=BC,
∴∠ACB=90°,
∴以C為原點(diǎn),分別以CA,CB所在直線為x,y軸,以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
∵AC=BC=4,∴C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(4,0,4),O(2,0,2),M(2,2,0),
∴=(0,4,2),=(-2,4,0),=(-2,2,2).
設(shè)平面ODM的法向量為n=(x,y,z),
則由n⊥,n⊥,可得
令x=2,得y=1,z=1,∴n=(2,1,1).
設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ,
則sin θ====.
∴直線CD和平面ODM所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下圖中,四邊形 ABCD是等腰梯形, , ,O、Q分別為線段AB、CD的中點(diǎn),OQ與EF的交點(diǎn)為P,OP=1,PQ=2,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起,使得,連結(jié)AD、BC,得一幾何體如圖所示.
(Ⅰ)證明:平面ABCD平面ABFE;
(Ⅱ)若上圖中, ,CD=2,求平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若存在唯一整數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=lgx+1(1≤x≤100),則g(x)=f2(x)+f(x2)的值域?yàn)椋?/span> )
A.[﹣2,7]
B.[2,7]
C.[﹣2,14]
D.[2,14]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)x>1時(shí),有f(x)>0.
(1)求f(1),判定并證明f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(2)=1,解不等式f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.
(1)求角A的大。
(2)若a=3,b=2c,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1,a,b∈R,當(dāng)x=﹣1時(shí),函數(shù)f(x)取到最小值,且最小值為0;
(1)求f(x)解析式;
(2)關(guān)于x的方程f(x)=|x+1|﹣k+3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開展促銷活動(dòng),對(duì)購買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:
甲商場(chǎng):顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形圓心角均為15°,邊界忽略不計(jì)) 即為中獎(jiǎng).
乙商場(chǎng):從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2個(gè)球(球除顏色外不加區(qū)分),如果摸到的是2個(gè)紅球,即為中獎(jiǎng).
問:購買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
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