Question

6．已知函數(shù)f（x）=-2sin（-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）．
（1）求f（x）的對稱軸及單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡函數(shù)f（x）=sin2x，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得f（x）的圖象的對稱，由正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的增區(qū)間．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-2sin（-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）=2sinx•cosx=sin2x，
令2x=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的圖象的對稱軸為 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上，2x∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
故當(dāng)2x=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{6}$時，f（x）=sin2x取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)2x=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$時，f（x）=sin2x取得最大值為1．

點(diǎn)評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．