Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，n∈N^*，且a₂=6．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）設(shè)C_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{2n-1}+1}$（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，n∈N^*，且a₂=6，求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想a_n=n（2n-1），用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）由a_n=n+1，知c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，要使c_n+1＞c_n恒成立，則c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，故（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立． 由此能得到存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，n∈N^*，且a₂=6，
∴a₁=1，a₃=15，a₄=28；
（2）猜想a_n=n（2n-1），用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1，2，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k≥2）時命題成立，即a_k=k（2k-1），
則n=k+1時，∵$\frac{{a}_{k+1}+{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-{a}_{k}+1}$=k，
∴a_k+1=$\frac{k+1}{k-1}$（a_k-1）=（k+1）[2（k+1）-1]，
∴結(jié)論成立，
由①②可得a_n=n（2n-1）；
（3）∵a_n=n（2n-1），∴c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
要使c_n+1＞c_n恒成立，
∴c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．             
（�。┊�(dāng)n為奇數(shù)時，即λ＜2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，2^n-1有最小值為1，
∴λ＜1．
（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ＞-2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，則λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．

點評 本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大．