Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形， 底面， ，點(diǎn)分別在棱上，且平面.

（1）求證： ；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理得，再由，以及線面垂直判定定理得平面，即得，由平面，有，再由線面垂直判定定理得平面，即得；（2）因?yàn)?/span>平面，所以為在平面內(nèi)的射影，延長交于點(diǎn)，則為（即）與平面所成的角，解直角三角形得線面角正弦值.（3）以空間向量求角二面角，先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解平面法向量，由向量數(shù)量積得兩法向量夾角余弦值，最后根據(jù)二面角與兩法向量關(guān)系得結(jié)果

試題解析：（1）因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以，

又因?yàn)?/span>底面，所以，故平面，

又平面，則，

而平面，有，則平面，

故.

（2）如圖，延長交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>平面，

所以為在平面內(nèi)的射影，故為（即）與平面所成的角，

又因?yàn)?/span>， ，則有，

在中， ，

故與平面所成角的正弦值為.

（3）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系， ，

所以， ，設(shè)平面的法向量，

那么，

，

令，則，由（1）知，平面的法向量，

設(shè)所求二面角的大小為，且為銳角，所以，

所以二面角的余弦值為.