Question

（2012•衡陽模擬）已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x，（x∈R）在x=1處取得極值．
（1）求a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)m，使得對任意a∈（0，1）及x₁，x₂∈[0，2]總有|f（x₁）-f（x₂）|＜[（m+2）a+m²]e+e²恒成立，若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）我們知道函數(shù)f（x）在x=x₀處取得極值的必要條件是f^′（x₀）=0，據(jù)此可以求出a與b的關系式，通過對a分類討論判斷f^′（x）的正負即可得到
函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）我們先求得對任意x₁，x₂∈[0，2]時|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，就可以把“對任意a∈（0，1）及x₁，x₂∈[0，2]總有|f（x₁）-f（x₂）|＜[（m+2）a+m²]e+e²恒成立”問題轉化為“對任意a∈（0，1）|f（x₁）-f（x₂）|_max＜[（m+2）a+m²]e+e²恒成立”問題，進而再轉化為關a一次函數(shù)的單調性問題就可以解決．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x，∴f^′（x）=[x²+（2+a）x+a+b]e^x，
又∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f^′（1）=0，∴1+2+a+a+b=0，∴b=-2a-3．
∴f^′（x）=[x²+（a+2）x-a-3]e^x=（x-1）[x-（-a-3）]e^x，
①當a=-4時，f^′（x）=（x-1）²e^x≥0，∴x=1不是函數(shù)的極值點，因此a≠-4；
②當a＞-4時，則-a-3＜1，由f^′（x）＞0得x＞1或x＜-a-3，由f^′（x）＜0得-a-3＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-a-3），（1，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（-a-3，1）上單調遞減．
③當a＜-4時，則-a-3＞1，由f^′（x）＞0得x＜1或x＞-a-3，則-a-3＜1，由f^′（x）＜0得1＜x＜-a-3，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1），（-a-3，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（1，-a-3）上單調遞減．
（2）當a∈（0，1）時，由（1）可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調遞減，在區(qū)間（1，2]上單調遞增．
∴當x∈[0，2]時，函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值，且f（x）_min=f（1）=（-a-2）e，
又f（0）=-2a-3，f（2）=e²，∴f（2）＞f（0），∴函數(shù)f（x）在x=2處取得最大值．
∴當x₁，x₂∈[0，2]時，|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min=f（2）-f（1）=e²+（a+2）e．
∴對任意a∈（0，1）及x₁，x₂∈[0，2]總有|f（x₁）-f（x₂）|＜[（m+2）a+m²]e+e²恒成立，
轉化為對任意a∈（0，1）及x₁，x₂∈[0，2]有 |f(x1)-f(x2)|max＜[(m+2)a+m2]e+e²恒成立，
即對任意a∈（0，1），[（m+2）a+m²]e+e²＞e²+（a+2）e恒成立，
即對任意a∈（0，1），（m+1）a+m²-2＞0恒成立，
令g（a）=（m+1）a+m²-2，則有

g(0)≥0 g(1)≥0

，
解得m≤

-1- 5

2

或m≥

2

，
所以滿足條件的m的取值范圍是：m∈(-∞，

-1- 5

2

]∪[

2

，+∞)．

點評：本題考查的是含有參數(shù)的函數(shù)的單調區(qū)間及恒成立問題，關鍵是要恰當?shù)姆诸愑懻�，及把恒成立問題轉化為與求函數(shù)的最值問題與一次函數(shù)的單調性問題．