Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x﹣2|．
（1）作出函數(shù)f（x）=x|x﹣2|的大致圖象；
（2）若方程f（x）﹣k=0有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）若x∈（0，m]（m＞0），求函數(shù)y=f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x|x﹣2|= ，

由分段函數(shù)的畫(huà)法，可得如圖

（2）解：若方程f（x）﹣k=0有三個(gè)解，即函數(shù)f（x）圖象與直線y=k有三個(gè)交點(diǎn)，

由圖可得，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）﹣k=0有三個(gè)解

（3）解：當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）在（0，m]遞增，f（m）取得最大值，且為2m﹣m2；

由x2﹣2x=1，解得x=1+ （1﹣ 舍去），

當(dāng)1＜m≤1+ 時(shí)，由f（x）的圖象可得f（1）取得最大值1；

當(dāng)m＞1+ 時(shí)，由f（x）的圖象可得f（m）取得最大值m2﹣2m．

綜上可得，當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）的最大值為2m﹣m2；

當(dāng)1＜m≤1+ 時(shí)，f（x）的最大值為1；

當(dāng)m＞1+ 時(shí)，f（x）的最大值為m2﹣2m．

【解析】（1）寫(xiě)出f（x）的分段形式，畫(huà)出圖象；（2）由題意可得，函數(shù)f（x）圖象與直線y=k有三個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)平移直線y=k，即可得到k 范圍；（3）對(duì)m討論，分當(dāng)0＜m≤1時(shí)，當(dāng)1＜m≤1+ 時(shí)，當(dāng)m＞1+ 時(shí)，三種情況，通過(guò)圖象和單調(diào)性，即可得到最大值．