Question

設函數f（x）=x³+ax²+bx的圖象與直線y=4相切于M（1，4）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的極值；
（Ⅲ）是否存在兩個不等正數s，t（s＜t），當x∈[s，t]時，函數f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有這樣的正數s，t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b．依題意

f(1)=1+a+b=4 f′(1)=3+2a+b=0

，由此求出f（x）=x³-6x²+9x． 
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），由f′（x）=0，得x=1或x=3．列表討論，能求出函數f（x）的極值．
（Ⅲ）由函數的定義域是正數知，s＞0，故極值點x=3不在區(qū)間[s，t]上，由此利用分類討論思想能求出不存在正數s，t滿足要求．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
依題意則有：

f(1)=1+a+b=4 f′(1)=3+2a+b=0

，
解得a=-6，b=9，
∴f（x）=x³-6x²+9x． …（3分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f′（x）=0，得x=1或x=3．…（4分）
列表討論，得：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數	4	減函數	0	增函數

∴函數f（x）=x³-6x²+9x極大值是4，極小值是0．…（7分）
（Ⅲ）由函數的定義域是正數知，s＞0，故極值點x=3不在區(qū)間[s，t]上，
①若極值點1∈[s，t]，
此時0＜s≤1≤t＜3，在此區(qū)間上f（x）的最大值是4，不可能等于t，
故在區(qū)間[s，t]上沒有極值點；
②若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上單調增，
即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
則

f(s)=s f(t)=t

，即

s3-6s2+9s=s t3-6t2+9t=t

，解得

s=2 t=4

不合要求．
（3）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上單調減，
即1≤s＜t＜3，則

f(s)=t f(t)=s

，
兩式相減并除s-t，得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0，①
兩式相除并開方，得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，即s（3-s）=t（3-t），
整理，并除以s-t，得：s+t=3，②
則①、②得

s+t=3 st=1

，即s，t是方程x²-3x+1=0的兩根，
即s=

3- 5

2

，t=

3+ 5

2

 不合要求；
綜上，不存在正數s，t滿足要求．…（14分）

點評：本題考查函數解析式的求法，考查函數的極值的求法，考查滿足條件的正數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．