【題目】已知函數(shù)f(x)=(a、b∈R,a、b為常數(shù)),且y=f(x)在x=1處切線方程為y=x﹣1.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)h(x)= , k(x)=2h′(x)x2 , 求證:當(dāng)x>0時,k(x)<+ .
【答案】解:(1)由題意知,f′(x)=,
故f(1)=ln(1+a)+b=0,
f′(1)=﹣[ln(1+a)+b]=1,
解得,a=b=0;
(2)證明:h(x)==,
h′(x)=,
k(x)=2h′(x)x2=;
當(dāng)x>0時,令t=2x,=的導(dǎo)數(shù)為,
顯然t=1取得最大值.
即有∈(0,],
設(shè)m(x)=1﹣2xlnx﹣2x,
m′(x)=﹣2lnx﹣4=﹣2(lnx+2),
故m(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減,
故mmax(x)=m()=1+且g(x)與m(x)不于同一點取等號,
故k(x)<(1+)=+.
【解析】(1)先求導(dǎo)f′(x),從而由f(1)=ln(1+a)+b=0,f′(1)=1組成方程組求解即可;
(2)化簡h(x),求導(dǎo)h′(x),從而化簡k(x)=2h′(x)x2 , 分別判斷與1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可證明.
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【題目】在△中,已知,直線經(jīng)過點.
(Ⅰ)若直線:與線段交于點,且為△的外心,求△的外接圓的方程;
(Ⅱ)若直線方程為,且△的面積為,求點的坐標.
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【題目】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱,且當(dāng)x∈(-∞,0)時,成立,(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù));若, ,,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a
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【題目】若關(guān)于x的方程(x﹣1)4+mx﹣m﹣2=0各個實根x1 , x2…xk(k≤4,k∈N*)所對應(yīng)的點(xi),(i=1,2,3…k)均在直線y=x的同側(cè),則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣1,7)
B.(﹣∞,﹣7)U(﹣1,+∞)
C.(﹣7,1)
D.(﹣∞,1)U(7,+∞)
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【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起,人們的購物方式更具多樣化.某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取8名購物者進行采訪,4名男性購物者中有3名傾向于網(wǎng)購,1名傾向于選擇實體店,4名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購,2名傾向于選擇實體店.
(1)若從8名購物者中隨機抽取2名,其中男女各一名,求至少1名傾向于選擇實體店的概率:
(2)若從這8名購物者中隨機抽取3名,設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知向量=(sin x,cos x),=(cos x,cos x),=(2,1).
(1)若∥,求sin xcos x的值;
(2)若0<x≤,求函數(shù)f(x)=·的值域.
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【題目】某高中為了解高中學(xué)生的性別和喜歡打籃球是否有關(guān),對50名高中學(xué)生進行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
已知在這50人中隨機抽取1人,抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為
(Ⅰ)請將上述列聯(lián)表補充完整;
(Ⅱ)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡打籃球與性別有關(guān)?
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【題目】已知函數(shù)對任意,都有.
(1)若函數(shù)的頂點坐標為且,求的解析式;
(2)函數(shù)的最小值記為,求函數(shù)在上的值域.
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