Question

若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA=2

3

，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2

3

，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=

3

，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=

1

2

AC=1，由此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．

解答： 解：如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=2

3

，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=

1+4-2×1×2×cos60°

=

3

，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=

1

2

AC=1，
∴球O的半徑R=

12+( 2 3 2 )2

=2，
∴球O的表面積S=4πR²=16π．
故答案為：16π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題的關(guān)鍵．