Question

已知f(x)=

e-x (x≤0) x (x＞0)

，g(x)=f(x)-

1

2

x-b有且僅有一個零點時，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=

1

2

x+b只有一個交點，分類討論、數(shù)形結(jié)合求得b的范圍．

解答： 解：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=

1

2

x+b
只有一個交點，如圖所示：
當直線經(jīng)過點A（0，1）時，b=1；
當直線和y=

x

（x＞0）相切時，設(shè)切點B（x₀，

x0

），
由

1

2

=

x0 -b

x0-0

=

1

2 x0

，求得 x₀=1，b=

1

2

．
當直線過原點（0，0）時，b=0．
綜上可得，b≥1或b=

1

2

或b≤0，
故答案為：b≥1或b=

1

2

或b≤0．

點評：本題主要考查方程根的存在性及個數(shù)判斷，導數(shù)的幾何意義、斜率公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．