Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞減，且對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得a≥2．故只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得a的范圍．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=x²-2ax+5的圖象的對稱軸為x=a，函數(shù)f（x）=x²-2ax+5在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞減，∴a≥2．
故在區(qū)間∈[1，a+1]上，1離對稱軸x=a最遠(yuǎn)，故要使對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得-1≤a≤3．
再結(jié)合 a≥2，可得2≤a≤3，
故答案為：[2，3]．

點(diǎn)評：本題主要二次函數(shù)的性質(zhì)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．