Question

有兩個(gè)投資項(xiàng)目A，B，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A項(xiàng)目的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B項(xiàng)目的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙．（注：利潤與投資單位：萬元）

（1）分別將A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤表示為投資B={x|x＜a}（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)將x（0≤x≤10）萬元投資A項(xiàng)目，10-x萬元投資B項(xiàng)目．h（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤與投資B項(xiàng)目所得利潤之和．求h（x）的最大值，并指出x為何值時(shí)，h（x）取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，設(shè)f(x)=k1x，g(x)=k2

x

，代入求出參數(shù)值即可，
（2）化簡(jiǎn)h(x)=f(x)+g(10-x)=

1

4

x+

5

4

10-x

(0≤x≤10)，利用換元法可得y=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

(0≤t≤10)．從而求最值．

解答： 解：（1）設(shè)投資為x萬元，A項(xiàng)目的利潤為f（x）萬元，B項(xiàng)目的利潤為g（x）萬元．
由題設(shè)f(x)=k1x，g(x)=k2

x

．
由圖知f(1)=

1

4

，故k1=

1

4

．
又∵g(4)=

5

2

，∴k2=

5

4

．
從而f(x)=

1

4

x(x≥0)，g(x)=

5

4

x

(x≥0)．
（2）h(x)=f(x)+g(10-x)=

1

4

x+

5

4

10-x

(0≤x≤10)
令t=

10-x

，則y=

10-t2

4

+

5

4

t=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

(0≤t≤10)．
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，h(x)max=

65

16

，此時(shí)x=3.75，
答：當(dāng)A項(xiàng)目投入3.75萬元，B項(xiàng)目投入6.25萬元時(shí)，最大利潤為

65

16

萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及換元法與配方法求函數(shù)的最值，屬于中檔題．