Question

在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分別是AB，AF的中點(diǎn)（如圖1）．將此三角形沿CE對(duì)折，使平面AEC⊥平面BCEF（如圖2），已知D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CD∥平面AEF；
（2）求證：平面AEF⊥平面ABF；
（3）求三棱錐C-AEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定理，即可證得；
（2）由線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可證得；
（3）由等積變換，V_C-AEF=V_A-CEF，再運(yùn)用三棱錐的條件公式，即可得到．

解答： （1）證明：取AF中點(diǎn)M，連結(jié)DM，EM，
∵D，M分別是AB，AF的中點(diǎn)
∴DM是△ABF的中位線，∴DM

∥

.

1

2

BF且CE

∥

.

1

2

BF，
四邊形CDME是平行四邊形，∴CD∥EM，
又EM⊆面AEF且CD?面AEF
∴CD∥面AEF；
（2）證明：由左圖知CE⊥AC，CE⊥BC，
且右圖中：AC∩BC=C，∴CE⊥面ABC，又CD?面ABC
∴CE⊥CD，∴四邊形CDME為矩形，則EM⊥MD，△AEF中EA=EF，M為AF的中點(diǎn)，
∴EM⊥AF，且AF∩MD=M，∴EM⊥面ABF，又EM?面AEF，∴面AEF⊥面ABF；
（3）解：∵V_C-AEF=V_A-CEF，由左圖知AC⊥CE，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC∩平面BCEF=CE，
∴AC⊥面BCEF，即AC為三棱錐A-CEF的高，
∴V_A-CEF=

1

3

S_△CEF•AC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定和性質(zhì)定理，同時(shí)考查三棱錐的體積公式，屬于中檔題．