Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率

3

2

，拋物線C₂：x²=4y的焦點F恰好是橢圓短軸的一個端點．直線AB：y=kx+m與拋物線C₂相交于A，B，分別以A，B為切點作拋物線C₂的兩條切線交于點P
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若交點P在橢圓C₁上，證明：點（k，m）在定圓上運動；并求S_△ABP的最大時，直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

c a = 3 2 b=1

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，利用導數據的幾何意義分別求出切線PA方程：y=

x1

2

x-

x12

4

，切線PB方程：y=

x2

2

x-

x22

4

，聯立方程組求出P點的坐標P(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，由

y=kx+m x2=4y

，消元得：x²-4kx-4m=0，由此利用韋達定理和點到直線AB的距離公能求出直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C2：x2=4y的焦點坐標F（0，1），
橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率

3

2

，
拋物線C₂：x²=4y的焦點F恰好是橢圓短軸的一個端點，
∴

c a = 3 2 b=1

，解得：

a=2 b=1

，
∴橢圓C₁的方程：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
由y=

x2

4

，得y′=

x

2

，
∴切線PA方程：y=

x1

2

x-

x12

4

，
同理切線PB方程：y=

x2

2

x-

x22

4

，
聯立方程

y= x1 2 x- x12 4 y= x2 2 x- x22 4

，
解得P點的坐標P(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，
又

y=kx+m x2=4y

，消元得：x²-4kx-4m=0，
由韋達定理得：

x1+x2=4k x1•x2=-4m

，
∴P點的坐標可化為P（2k，-m），而P點在橢圓上，∴k²+m²=1．
∴點（k，m）在單位圓上．
而|BC|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

16k2+16m

，
P點到直線AB的距離d=

|2k2+2m|

1+k2

，
S△ABP=

1

2

|BC|•d═4(k2+m)

3

2

=4(1-m2+m)

3

2

=4[-(m-

1

2

)2+

5

4

]

3

2

≤

5 5

2

，
即當m=

1

2

時取最大值．此時k=±

3

2

，
∴直線AB的方程為y=±

3

2

x+

1

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．