Question

已知函數(shù)（），．
（Ⅰ）若，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；
（Ⅲ）若，試探究函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線，若存在，研究值的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，且符合題意的值有且僅有兩個(gè)

(I)當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)建立關(guān)于b的方程，求出b值.
(II)由（I）得，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231838748527.png" style="vertical-align:middle;" />，要證，
只須證，然后構(gòu)造函數(shù)， 
利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值，證明最小值大于零即可.
(III)本小題屬于探索性問題，先假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，則滿足
，所以,即,從而求出,
然后再討論是否大于零來確定假設(shè)是否成立.
解：（Ⅰ），，
∴，         --------------------------2分
依題意得 ，∴．         --------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231838748527.png" style="vertical-align:middle;" />，
要證，只須證，
設(shè)，          -------------------4分
則，
令，得， ---------------------------6分
列表得

	遞減	極小	遞增

∴時(shí)，取極小值也是最小值，且，
∴，∴. --------------------8分
（Ⅲ）假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，
∵，∴，
∵，，由得，，
即，∴，--------------9分
∵的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231838748527.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；---10分
當(dāng)時(shí)，令 ，∵，，
∴，即， ----------------11分
下面研究滿足此等式的值的個(gè)數(shù)：
（方法一）由得 ，
設(shè)函數(shù)，，
令得，當(dāng)時(shí)，遞增；
當(dāng)時(shí)，遞減；
所以，，又時(shí)，，
時(shí)，，
所以，函數(shù)的圖象與軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即符合題意的值有且僅有兩個(gè)．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，
且符合題意的值有且僅有兩個(gè)．-------------------------------14分
(方法二)設(shè)，則，且，方程化為，
分別畫出和的圖象，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231842336317.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，
由函數(shù)圖象性質(zhì)可得和圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)（且均符合），
所以方程有且只有兩個(gè)解．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，
且符合題意的值有且僅有兩個(gè)．--------------------------------14分