Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=e^x-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，f（x）解析式無(wú)常數(shù)項(xiàng)）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若對(duì)于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等價(jià)于（a+1）x＜e^x，將（a+1）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1，求出g（x）的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=e^x-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，f（x）解析式無(wú)常數(shù)項(xiàng)），
∴f（x）=e^x-x．
由f′（x）＞0，可得x＞0；f′（x）＜0，可得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=0時(shí)，f（x）的最小值為1；
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等價(jià)于（a+1）x＜e^x，
當(dāng)x=0時(shí)，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈（0，2]的情況．
將（a+1）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1．
令g（x）=

ex

x

-1，則g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=

(x-1)ex

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．
從而g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值e-1，
從而實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．