Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象在點(diǎn)（1，f（1））的切線l過(guò)點(diǎn)（0，c-1）
（1）求a的值
（2）當(dāng)b=2c＞0時(shí)，函數(shù)F（x）=x[f（x）+c²-c]對(duì)任意x₁，x₂∈[-c，c]，不等式|F（x₁）-F（x₂）|≤

1

3

c恒成立，求c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的斜率公式，即可得到a；
（2）化簡(jiǎn)F（x），求導(dǎo)數(shù)，求出在[-c，c]內(nèi)的極值，以及最值，由條件可知最大值與最小值的差不大于

1

3

c，解不等式，即可得到c的最大值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2ax+b，
f′（1）=2a+b，f（1）=a+b+c，
由于切線l過(guò)點(diǎn)（0，c-1），則2a+b=

a+b+c-(c-1)

1

，
∴a=1．
（2）當(dāng)b=2c＞0時(shí)，函數(shù)F（x）=x[f（x）+c²-c]
=x（x²+2cx+c+c²-c）=x（x+c）²，F(xiàn)′（x）=（x+c）（3x+c），
當(dāng)-c≤x≤-

c

3

時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，-

c

3

≤x≤c時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，
則F（x）在x=-

c

3

處取極小值，也為最小值，且為-

4

27

c³，
F（c）=4c³，F(xiàn)（-c）=0，則最大值為4c³，
由于對(duì)任意x₁，x₂∈[-c，c]，不等式|F（x₁）-F（x₂）|≤

1

3

c恒成立，
即有

1

3

c≥4c³-（-

4

27

c³），
由于c＞0，則c≤

3 7

28

，
故c的最大值為

3 7

28

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線，求單調(diào)區(qū)間和極值，以及最值，考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．