Question

16．已知數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，且S₄，S₁₀，S₇成等比數(shù)列．
（1）求證：a₂ ，a₈，a₅ 成等差數(shù)列；
（2）以a₂ ，a₈，a₅為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第四項(xiàng)是不是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)？若是，求這一項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2S₁₀=S₄+S₇，代入等比數(shù)列求和公式整理得1+q³=2q⁶．進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可推斷a₂+a₅=2a₈．進(jìn)而證明原式．
（2）要以a₂， a₈，a₅為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第四項(xiàng)是數(shù)列{a_n}中的第k項(xiàng)，必有a_k-a₅=a₈-a₂，所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$-q³=q⁶-1，所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
因?yàn)镾₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
所以$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，
因?yàn)?-q≠0，所以1+q³=2q⁶．
所以a₁q+a₁q⁴=2a₁q⁷，即a₂+a₅=2a₈．
所以a₂ ，a₈，a₅ 也成等差數(shù)列；
（2）解：由2q⁶=1+q³=-$\frac{1}{2}$
要以a₂， a₈，a₅為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第四項(xiàng)是數(shù)列{a_n}中的第k項(xiàng)，
必有a_k-a₅=a₈-a₂，所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$-q³=q⁶-1 
所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，
所以q^k-2=-$\frac{5}{4}$，
由k是整數(shù)，所以q^k-2=-$\frac{5}{4}$不可能成立，
所以a₂， a₈，a₅為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第四項(xiàng)不可能也是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生根據(jù)已知條件，分析和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．