Question

11．若$\overrightarrow{OP}$=（1，2x），$\overrightarrow{OQ}$=（2，x+1），當|$\overrightarrow{PQ}$|取最小值時．以0、P、Q、A四點構成平行四形．
（1）求$\overrightarrow{OA}$；
（2）求所有符合題意的點A所構成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用向量的模求出最小值時的x值，然后求出A的坐標．
（2）求出A的坐標，畫出圖形，求解三角形的面積即可．

解答 解：由題意$\overrightarrow{OP}$=（1，2x），$\overrightarrow{OQ}$=（2，x+1），
可得，$\overrightarrow{PQ}$=（1，1-x），∴$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\sqrt{1+（{1-x）}^{2}}$，當x=1時，距離最小，
此時P（1，2），Q（2，2），∵0、P、Q、A四點構成平行四形，
∴$\overrightarrow{OA}$=（3，4），（1，0）（-1，0）．
（2）如圖：所有符合題意的點A所構成的三角形的面積：S=$\frac{1}{2}$×2×4=4．

點評 本題考查向量在幾何中的應用，考查計算能力．