Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=2，向量

a

=sin（A-B），1），

b

=（1，sinB-sinC），且

a

⊥

b

（1）求角A；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用兩向量垂直時(shí)滿足的條件列出關(guān)系式，整理后求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用余弦定理表示出cosA，將cosA的值代入，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵

a

=（sin（A-B），1），

b

=（1，sinB-sinC），且

a

⊥

b

，
∴sin（A-B）×1+（sinB-sinC）×1=0，
化簡(jiǎn)得：sinAcosB-cosAsinB+sinB-sinAcosB-cosAsinB=0，即sinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
又0°＜A＜180°，
∴A=60°；
（2）由余弦定理得cosA=cos60°=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴b²+c²-4=bc≥2bc-4，即bc≤4，當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴S=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

，
則當(dāng)b=c時(shí)面積有最大值

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．