【題目】已知函數(shù).
(1)討論的極值點的個數(shù);
(2)當(dāng)時,若存在實數(shù),使得,求的最小值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).令,分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),并求得,通過判斷在各區(qū)間內(nèi)的符號,判斷的單調(diào)性及的取值情況.即可根據(jù)的取值情況,判斷極值點的個數(shù).
(2)將代入,并令,即可用表示出與,即可表示出.構(gòu)造函數(shù),并求得,結(jié)合的符號即可判斷的單調(diào)性,進而求得的最小值.
(1)由題可知,
令,得,
記,則
當(dāng)時,;時,;時,,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
又
時,;
時,;
時,,
∴當(dāng)時,函數(shù)有2個極值點;
當(dāng)時,函數(shù)無極值點;
當(dāng)時,函數(shù)有1個極值點;
(2)當(dāng)時,設(shè),
則,
∵,∴,即,
故,,
∴,,即.
令,
則,
∵與在均單調(diào)遞增,
∴在均單調(diào)遞增,且,
∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)時,取最小值,此時,
即的最小值為.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),曲線:(為參數(shù)),以O為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,記曲線與的交點為.
(1)求點的極坐標(biāo);
(2)設(shè)曲線與相交于A,B兩點,求的值.
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【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點,給出命題:①;②若,則存在,使得;③與所有極值之和一定小于0;④若,且是曲線的一條切線,則的取值范圍是.則以上命題正確序號是_____________.
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【題目】對于函數(shù),若存在實數(shù),使成立,則稱為的不動點.
(1)當(dāng),時,求的不動點;
(2)若對于任何實數(shù),函數(shù)恒有兩相異的不動點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若的圖象上、兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點,且直線是線段的垂直平分線,求實數(shù)的最小值.
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【題目】世界排球比賽一般實行“五局三勝制”,在2019年第13屆世界女排俱樂部錦標(biāo)賽(俗稱世俱杯)中,中國女排和某國女排相遇,根據(jù)歷年數(shù)據(jù)統(tǒng)計可知,在中國女排和該國女排的比賽中,每場比賽中國女排獲勝的概率為,該國女排獲勝的概率為,現(xiàn)中國女排在先勝一局的情況下獲勝的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若,求曲線與的交點坐標(biāo);
(2)過曲線上任一點作與夾角為30°的直線,交于點,且的最大值為,求的值.
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【題目】己知A,B分別為橢圓C:(a>b>0)的左右頂點,P為橢圓C上異于A,B的任意一點,O為坐標(biāo)原點,=﹣4,△PAB的面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C上存在兩點M,N,分別滿足OM∥PA,ON∥PB,求|OM||ON|的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3(a>0,且a≠1).
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范圍,使f(x)>0在定義域上恒成立.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,直線l與橢圓C交于P,Q兩點,且點M滿足.
(1)若點,求直線的方程;
(2)若直線l過點且不與x軸重合,過點M作垂直于l的直線與y軸交于點,求實數(shù)t的取值范圍.
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