Question

（2011•煙臺一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左，右焦點(diǎn)，離心率為

1

2

，點(diǎn)A在橢圓C上，|

AF1

|=2，|

AF2

||

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，過F₂與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在線段OF₂上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段MP，MQ為鄰邊的四邊形是菱形？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在焦點(diǎn)三角形F₁AF₂中，由|

AF2

||

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，可得頂角A的余弦值，由橢圓定義及離心率為

1

2

，|

AF1

|=2，即可將三邊都用a表示，最后利用余弦定理列方程即可解得a值，進(jìn)而得橢圓C的方程
（2）先設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)及直線l的方程，代入橢圓方程，得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得交點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)的和與積，再由存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段MP，MQ為鄰邊的四邊形是菱形，知(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，將坐標(biāo)代入后可得m關(guān)于k的函數(shù)，求其值域，看是否符合題意即可

解答：解：（1）由已知e=

1

2

，∴2c=a，即|F₁F₂|=a
∵|

AF1

|=2，∴|

AF2

|=2a-2
又∵|

AF2

||

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，
∴cos∠F1AF2=

- AF2 • F1A

| AF2 || F1A |

=

1

2

，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得a2=4+(2a-2)2-2×2(2a-2)×

1

2

，
即a²-4a+4=0
∴a=2
∴c=1，b²=a²-c²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1）滿足條件，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立：

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

⇒(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
∵直線l過焦點(diǎn)，∴△＞0
∴

x1+x2= 8k2 3+4k2

，

x1x2= 4k2-12 3+4k2

∵線段MP，MQ為鄰邊的四邊形是菱形
∴(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0
∵

MP

=(x1-m，y1)，

MQ

=(x2-m，y2)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，

MP

+

MQ

=(x2+x1-2m，y2+y1)，
∴(

MP

+

MQ

)•

PQ

=(x2+x1-2m)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0，
∵x₂-x₁≠0，k=

y2-y1

x2-x1

∴x₂+x₁-2m+k（y₂+y₁）=0，
∵y₂+y₁=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₂+x₁）-2k
∴x₂+x₁-2m+k²（x₂+x₁-2）=0，
∴

8k2

3+4k2

-2m+k2(

8k2

3+4k2

-2)=0，
∴m=

k2

3+4k2

，
∴k2=

3m

1-4m

＞0⇒0＜m＜

1

4

，
又∵M(jìn)（m，0）在線段OF₂上，則0＜m＜1，
故存在m∈(0，

1

4

)滿足題意．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，特別是直線與橢圓相交時利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求的技巧解決問題的能力