Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣a|， （Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2﹣a|對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=4，則f（x）≤x可化為|2x﹣4|≤x， 法1：即 或 ，
解得 ，
所以f（x）≤x的解集為 ；
法2：即 ，
解得 ，
所以f（x）≤x的解集為 ；
法3：即 ，
即 解得 ，
所以f（x）≤x的解集為 ；
（Ⅱ）法1：f（x+1）＞|2﹣a|對(duì)x∈（0，+∞）恒成立
即f（x+1）＞f（1）對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
又因?yàn)閒（x）=|2x﹣a|在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以 解得a≤2，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，2]；
法2：f（x+1）＞|2﹣a|對(duì)x∈（0，+∞）恒成立
即|2x+2﹣a|＞|2﹣a|對(duì)x∈（0，+∞）恒成立
等價(jià)于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2+x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤2
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，2]
【解析】（Ⅰ）法一：通過討論2x﹣4的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集；法二：根據(jù)題意得出x≥0，再去絕對(duì)值即可，法三：根據(jù)題意得出x≥0，兩邊平方解出即可；（Ⅱ）法一：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為f（x+1）＞f（1）對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性問題，求出a的范圍即可；法二：等價(jià)于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解絕對(duì)值不等式的解法(含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào))．