Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），在處的切線為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)可以作的三條切錢？若存在，請(qǐng)求出橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)可以作的三條切線.

【解析】分析：(1) 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線方程可得切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，可得a=2，即可得到f（x）的解析式；(2) 令，設(shè)圖象上一點(diǎn)，，該處的切線, 又過(guò)點(diǎn)則 過(guò)作3條不同的切線，則方程有3個(gè)不同實(shí)根,進(jìn)而構(gòu)造，圖象與軸有3個(gè)不同交點(diǎn)

詳解：（1），

由題意可知

，，即

（2），令，

設(shè)圖象上一點(diǎn)，，

該處的切線

又過(guò)點(diǎn)則 ①

過(guò)作3條不同的切線，則方程①關(guān)于有3個(gè)不同實(shí)根

令，圖象與軸有3個(gè)不同交點(diǎn)

（1）當(dāng)，，是單調(diào)函數(shù)，不可能有3個(gè)零點(diǎn)

（2）當(dāng)，或時(shí)，當(dāng)時(shí)，

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減

曲線與軸有個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)該滿足

，，當(dāng)，又，所以無(wú)解

（3）當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，應(yīng)滿足

，，當(dāng)，又，無(wú)解，

綜上，不存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)可以作的三條切線.