Question

【題目】如圖，正四面體ABCD中，異面直線AB與CD所成的角為_______，直線AB與底面BCD所成角的余弦值為_______．

Answer 1

【答案】90°

【解析】

取CD中點E，連接AE、BE，作AF⊥BE于點F，

空1：根據等腰三角形的性質，結合線面垂直的判定定理和性質進行求解即可；

空2：根據線面垂直的性質和判定定理，結合線面角定義、銳角三角函數定義進行求解即可.

取CD中點E，連接AE、BE，作AF⊥BE于點F.

空1：因為，所以CD⊥AE，CD⊥BE，

AEBE＝E，平面ABE，∴CD⊥平面ABE，平面ABE，

∴CD⊥AB，∴異面直線AB與CD所成的角為90°；

空2：∵CD⊥平面ABE，平面ABE，∴CD⊥AF，又AF⊥BE，

平面BCD，∴AF⊥平面BCD，

∴∠ABF是直線AB與底面BCD所成角，

正四面體ABCD中，因為AF⊥平面BCD，所以點F是三角形BCD的中心，

設正四面體的棱長為a，所以

則．

故答案為：90°；