Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（0）=0，且任意的x∈R都有：f（

x

3

）=

1

2

f（x）和f（1-x）=1-f（x）成立，則f（

1

3

）+f（

1

6

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可以先將x=0代入f（1-x）=1-f（x），可得f（1）=1，再將x=1代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）可得f（

1

3

）=

1

2

；再令x=

1

2

，代入f（1-x）=1-f（x），可得f（

1

2

）=

1

2

，
再將x=

1

2

代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）可得f（

1

6

）=

1

4

．結(jié)論可求．

解答： 解：分別將x=0和x=

1

2

代入f（1-x）=1-f（x）得
f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

，
再將x=1和x=

1

2

分別代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得
f（

1

3

）=

1

2

，f（

1

6

）=

1

4

，
∴f（

1

3

）+f（

1

6

）=

3

4

．
故答案為

3

4

點(diǎn)評(píng)：這種類型的抽象函數(shù)問題一般采用賦值法，要注意取值時(shí)把所求的結(jié)論和已知條件有機(jī)結(jié)合起來，本題難度不大．