Question

已知函數f（x）=x²+

a

x

在（0，+∞）上單調遞增．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）討論方程f（x）=x的根的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,根的存在性及根的個數判斷

專題：導數的綜合應用

分析：（1）分別討論a的取值范圍，得到單調遞增區(qū)間，進而求出a的具體范圍，
（2）引進新函數g（x）通過作差法解決問題．

解答： 解：（1）①若a=0，則f（x）=x²，滿足f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②若a＜0，∵x²在（0，+∞）上單調遞增，

a

x

在（0，+∞）上單調遞增，
故f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③若a＞0，x在（0，+∞）上趨近于0時，f（x）趨近﹢∞，
而f（1）=1+a，與f（x）在（0，+∞）上單調遞增矛盾．
綜上知：a的取值范圍為（-∞，0]．
（2）方程f（x）=x即

x3-x2+a

x

=0，
由（1）知a≤0，當a=0時，方程有唯一實數根x=1；
當a＜0時

x3-x2+a

x

=0等價于a=-x³+x²，（x≠0）
當x＜0時，-x³+x²＞0，故a=-x³+x²無解；
當0＜x≤1時，-x³+x²=-x²（x-1）≥0，故a=-x³+x²無解；
當x＞1時，令g（x）=-x³+x²，設1＜x₁＜x₂，
g（x₁）-g（x₂）=-x₁³+x₁²+x₂³-x₂²
=-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-x₁-x₂）
因為1＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁²-x₁＞0，x₂²-x₂＞0，
故-（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-x₁-x₂）＞0，
所以g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
而g（1）=0，x趨近+∞時，g（x）趨近-∞，
故a=-x³+x²在x＞1時，有唯一解；
綜上，方程f（x）=x有唯一實數根．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．