Question

【題目】已知圓，直線過(guò)定點(diǎn).

（1）若直線與圓有交點(diǎn)，求其傾斜角的取值范圍；

（2）若為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可知滿足題意，得到；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程，利用圓心到直線距離構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得范圍；綜合兩種情況可得結(jié)果；

（2）設(shè)圓心到直線的距離分別為，得到，利用垂徑定理表示出，根據(jù)，結(jié)合基本不等式可求得最大值.

（1）由圓的方程：圓心，半徑，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

與圓交于點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

直線與圓有交點(diǎn)，圓心到直線距離，

即，解得：，；

綜上所述：傾斜角的取值范圍為.

（2）設(shè)圓心到直線的距離分別為，則，

所以，，

，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)），

四邊形的面積的最大值為.