【題目】已知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)在橢圓C上,滿足.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l1過點(diǎn)P,且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),直線l2與l1的傾斜角互補(bǔ),且與橢圓交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)M,N,與直線x=1交于點(diǎn)K(K介于M,N兩點(diǎn)之間).
①問:直線PM與PN的斜率之和能否為定值,若能,求出定值并寫出詳細(xì)計(jì)算過程;若不能,請說明理由;
②求證:.
【答案】(1).(2)①定值為;②證明見解析
【解析】
(1)設(shè)F1 (﹣c,0),F2(c,0),由可求c=1,再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程結(jié)合a2=b2+c2,即可求出a,b,c的值,從而得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)①顯然直線l1的斜率存在,設(shè)直線l1的方程為:yk(x﹣1),與橢圓方程聯(lián)立,利用△=0解出k的值,進(jìn)而求出直線l2的斜率,設(shè)直線l2方程為:y,M(x1,y1),N(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理代入kPM+kPN,化簡可得kPM+kPN=0為定值;②由①知∠MPK=∠NPK,
在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,所以,即|PM||KN|=|PN||KM|成立.
(1)設(shè)F1 (﹣c,0),F2(c,0),c>0,則(﹣c﹣1,)(c﹣1,)=1﹣c2,
∴c=1,
∴,解得,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;
(2)①顯然直線l1的斜率存在,設(shè)直線l1的方程為:yk(x﹣1),即y=k(x﹣1)
聯(lián)立方程,消去y得:(4k2+3)x2+(12k﹣8k2)x+(3﹣2k)2﹣12=0,
由題意可知△=(12k﹣8k2)2﹣4×(4k2+3)[(3﹣2k)2﹣12]=0,解得k,
∵直線l2與l1的傾斜角互補(bǔ),∴直線l2的斜率為,
設(shè)直線l2方程為:y,M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立方程,整理得x2+tx+t2﹣3=0,
由△=t2﹣4(t2﹣3)>0,得t2<4,
且x1+x2=﹣t,,
∴直線PM與PN的斜率之和kPM+kPN0;
②由①知PMPN關(guān)于直線x=1對稱,即∠MPK=∠NPK,
在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,
又因?yàn)椤?/span>MPK=∠NPK,∠PKM+∠PKN=180°,
∴,
∴|PM||KN|=|PN||KM|成立.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),要使函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ).
A.B.
C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】全國文明城市是中國所有城市品牌中含金量最高、創(chuàng)建難度最大的一個(gè),是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號,是目前國內(nèi)城市綜合類評比中的最高榮譽(yù),也是最具價(jià)值的城市品牌,作為普通市民,既是城市文明的最大受益者,更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者,皖北某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識,舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽,從所有答卷中隨機(jī)抽取400份試卷作為樣本,將樣本的成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段:后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求樣本的平均數(shù);
(Ⅱ)現(xiàn)從該樣本成績在與兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的市民中按分層抽樣選取6人,求從這6人中隨機(jī)選取2人,且2人的競賽成績之差的絕對值大于20的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直角坐標(biāo)系xOy中,已知MN是圓C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一條弦,且CM⊥CN,P是MN的中點(diǎn).當(dāng)弦MN在圓C上運(yùn)動時(shí),直線l:x﹣y﹣5=0上總存在兩點(diǎn)A,B,使得恒成立,則線段AB長度的最小值是_____.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線過定點(diǎn).
(1)若直線與圓有交點(diǎn),求其傾斜角的取值范圍;
(2)若為圓的兩條相互垂直的弦,垂足為,求四邊形的面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】蒙日圓涉及的是幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理,該定理的內(nèi)容為:橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上,該圓稱為原橢圓的蒙日圓,若橢圓的蒙日圓為,則( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的右焦點(diǎn)為,離心率為.直線過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;
(3)延長線段與橢圓交于點(diǎn),若四邊形為平行四邊形,求此時(shí)直線的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國個(gè)人所得稅》規(guī)定,公民全月工資、薪金所得不超過3500元的部分不必納稅,超過3500元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算:
全月應(yīng)納稅所得額 | 稅率() |
不超過1500元的部分 | 3 |
超過1500元至不超過4500元的部分 | 10 |
超過4500元至不超過9000元的部分 | 20 |
(1)試建立當(dāng)月納稅款與當(dāng)月工資、薪金(總計(jì)不超過12500元)所得的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知我市某國有企業(yè)一負(fù)責(zé)人十月份應(yīng)繳納稅款為295元,那么他當(dāng)月的工資、薪金所得是多少元?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com