Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為
（3）

解析試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ba/b/1owxp1.png" style="vertical-align:middle;" />，
． 1分
（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)，，．
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．4分
（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/88/1/kegs72.png" style="vertical-align:middle;" />．
（1）當(dāng)時，在上恒成立，
則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減． 5分
（2）當(dāng)時，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； 6分
由，即，得．7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為．   8分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增． 9分
（Ⅲ））因?yàn)榇嬖谝粋�使得，
則，等價于.10分
令，等價于“當(dāng) 時，”. 
對求導(dǎo)，得.  11分
因?yàn)楫?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增. 13分
所以，因此.   14分
另解：設(shè)，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ba/b/1owxp1.png" style="vertical-align:middle;" />，
.
依題意，至少存在一個，使得成立，
等價于當(dāng) 時，.   10分
（1）當(dāng)時，
在恒成立，所以在單調(diào)遞減，
只要，不滿足題意.  11分
（2）當(dāng)時，令得.
（ⅰ）當(dāng)，即時，
在