Question

17．已知函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x²+c（c∈R）．對任意的x∈R 都有f（x）≤g（x）成立．
（1）求c的取值范圍：
（2）設h（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，若h（x）在[2．+∞）上為增函數(shù)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x²-2x+c≥0恒成立，由判別式小于等于0，即可得到所求范圍；
（2）由題意可得h′（x）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{c}{{x}^{2}}$）≥0在[2．+∞）上恒成立，運用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）對任意的x∈R 都有f（x）≤g（x）成立，
即為x²-2x+c≥0恒成立，
即有判別式△=4-4c≤0，
解得c≥1；
（2）h（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{2x}$=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{c}{x}$），
h′（x）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{c}{{x}^{2}}$），
由h（x）在[2．+∞）上為增函數(shù)，
可得$\frac{1}{2}$（1-$\frac{c}{{x}^{2}}$）≥0在[2．+∞）上恒成立，
即為c≤x²的最小值，
由y=x²在[2．+∞）上的最小值為4．
即有c≤4，又c≥1，
可得1≤c≤4．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用二次函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)分離，考查運算能力，屬于中檔題．