Question

已知x，a∈R，a＞1，直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個公共點，則a=    ；公共點坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：構(gòu)造新函數(shù)g（x）=log_ax-x，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最大值，利用直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個公共點，即可求得結(jié)論．
解答：解：構(gòu)造新函數(shù)g（x）=log_ax-x，g′（x）=，
令=0，有x=，
因為a＞1，當時，g′（x）＞0；當時，g′（x）＜0
所以，g（x）=log_ax-x在x=處有最大值g（），
當g（）時，直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個公共點，即log_a（）=，
∴l(xiāng)n（lna）=-1，lna=，∴
則y=，即公共點坐標是（a，e），
故答案為：，（a，e）．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)零點等知識解決問題的能力，考查學(xué)生創(chuàng)新意識、運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和計算能力．