Question

已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，橢圓C的內(nèi)接平行四邊形ABCD的一組對(duì)邊分別過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，如圖所示，則平行四邊形ABCD面積的最大值是（　�。�

• A、2
• B、4

  3

• C、4
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)橢圓C的內(nèi)接平行四邊形ABCD，寫出直線AB、CD的方程，求出|AB|以及平行線AB、CD的距離d；
寫出平行四邊形ABCD的面積S的表達(dá)式，求出它的最大值．

解答： 解：∵橢圓C：

x2

4

+y2=1，
∴焦點(diǎn)F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）；
設(shè)橢圓C的內(nèi)接平行四邊形為四邊形ABCD，如圖所示
直線AB的方程為y=k（x+

3

），直線CD的方程為y=k（x-

3

），
則由

x2 4 +y2=1 y=k(x+ 3 )

消去y，得（1+4k²）x²-8

3

k²x+4（3k²-1）=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

4(3k2-1)

1+4k2

；
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 1+k2

1+4k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4(1+k2)

1+4k2

；
由平行線間的距離公式，得直線AB、CD的距離d=

2 3 |k|

1+k2

；
∴平行四邊形ABCD的面積S=|AB|×d=8

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

；
令t=

k2(1+k2)

(1+4k2)2

=

( 1 4 +k2)2+ 1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

，
再令

1

2

k²-

1

16

=s，顯然當(dāng)k²＞

1

8

時(shí)，s＞0，t=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

＞

1

16

，此時(shí)可取到最大值；
∴t=

1

16

+

s

64s2+24s+ 9 4

=

1

16

+

1

24+(64s+ 9 4s )

≤

1

16

+

1

24+ 64s× 9 4s

=

1

12

；
∴平行四邊形ABCD的面積S=8

3

•

t

≤8

3

×

1 12

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±

2

2

時(shí)，平行四邊形ABCD的面積S取得最大值4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求橢圓的內(nèi)接平行四邊形的面積問題，也考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．