Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）若y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為

π

2

，求ω的值；
（2）在（1）的條件下，將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為

π

2

，確定函數(shù)的周期，即可求ω的值；
（2）利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出g（x）的表達(dá)式，由g（x）=0，求出零點(diǎn)方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為

π

2

，
則函數(shù)的周期T=2×

π

2

=π，
即

2π

ω

=π，解得ω=2；
（2）∵ω=2，∴函數(shù)f（x）=

2

sin2x，
將y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=

2

sin2（x-

π

6

），
再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=

2

sin2（x-

π

6

）+1=

2

sin（2x-

π

3

）-1．
由g（x）=

2

sin（2x-

π

3

）-1=0．
得sin（2x-

π

3

）=

1

2

=

2

2

．
即2x-

π

3

=2kπ+

π

4

或2x-

π

3

=2kπ+

3π

4

，
即x=kπ+

7π

24

或x=kπ+

13π

24

，
∵區(qū)間為[0，b]，
∴當(dāng)k=0，1，2，3，4時(shí)，有10個(gè)零點(diǎn)，第10個(gè)零點(diǎn)為x=4π+

13π

24

=

109π

24

，
若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，
則b≥

109π

24

，
即b的最小值為

109π

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象變換，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．